标题：华威大学正在开发的水力发电创新技术

                             英国华威大学流体动力学研究中心 李胜才

　　摘要：水力发电是以工业规模可靠地生产电力以满足对清洁能源不断增长需求的唯一的可再生能源。然而一系列的关键性问题，如空化和空化流引起的水动力学稳定性和泥沙磨损等都是严峻的挑战妨碍我们高效地应用这一技术，特别是对于超大型水轮机而言。此外，空化空蚀和泥沙磨损的共同作用将会加剧磨蚀破坏; 不幸的是，这两种现象经常发生，而我们尚无满意的应对之策。例如，由世界领先的几家水轮机制造商（两个供货集团： ALSTOM+HEC, GE+VOTH SIEMENS+DFEM）为三峡电厂开发的当今世界上最先进、最大容量的水轮机在投入运行不久相继发生了非常奇特的损伤迹象。作者的研究表明：这并非孤立的技术问题，而是反映在三峡这样巨型机组上关於水轮机研发和试验所依据的水动力学相似淮则有效性的根本问题。从理论上讲，是涉及关於边界层湍流和空化初生相互作用这样的世纪性难题。对於这一问题的超前性研究，不仅对发展更大型的水轮机和其他大型液力机械具有不可估量的意义，而且也具有重大的理论价值。为了应对这些世界性的挑战，在华威大学空化实验室正在开展相应的基础性研究。在此仅作简单介绍。

1．导论
    水轮机及其空化等问题一直是作者和他的空化研究团队 的研究聚焦点。华威大学的空化实验室装备有本文作者设计的、由英国工程和物理研究委员会(EPSRC)资助的独特的空化试验台如图1所示。以下是与水力发电相关的几项研究：
    (1) 不断增长的对清洁能源的需求正在促进像三峡这样的采用由世界领先的制造厂(包括阿尔斯通、通用电气和伏依特-西门子)开发的巨型水轮机的特大型水力枢纽的开发。尽管如此, 左岸电厂所有这些最先进的机组都出现了一种从未报导过的奇特的损伤现象。2006年3月，在中国三峡当局和英国工程和物理研究委员会(EPSRC)在华威大学的创新制造技术研究中心(WIMRC)的”抗磨水轮技术”项目支持下，本文作者研究、识别了这一新现象[4-9]。当前由英国皇家工程院(Royal Academy of Engineering)RECI项目 的资助，作者的研究组正在华威大学的空化实验中重现这一现象，为：
•    寻求详细的触发机制，例如其控制参数及其相关性;
•    开发水力机械所需的新的相似律;
•    开发新一代巨型机组提供科学依据。
    (2) 关於空化共振微观机理的研究是作者开始于1980年代的长期的研究工作[例如10-12]的继续和深入。当年，为理解水轮机尾水管（空化）造成的非稳定性，作者与张有敬和Hammitt 教授在美国密西根大学的文托里实验台上共同发现了这一空化共振现象。
    (3) 长期以来，人们知道并采用表面涂覆柔性或弹性材料来保护水轮机的某些部位免于低等强度的空蚀破坏。然而，对其抗空蚀破坏的机理仍无充分理解，相应也没有用於寻找有效涂覆材料的量化指导准则。作者为此提出了一个随机的马尔科夫(Markov) 模型 [13] ，现正作为博士研究项目在实验台上验证 [14] 。
    (4) 更具有挑战性的问题是空化空蚀与泥沙磨蚀交互作用对水轮机的联合破坏。从世界各地的实验室发表的各具争议的报告使得这一现象愈发扑朔迷离。为加深对该现象的理解，作者提出了一个微观的物理模型 [38]。初步的数值计算结果[39] 首次揭示了关於这一现象的一些重要知识。
    (5) 关於空泡间，特别是两个空泡间的相互作用的基础研究，正由另一位博士研究生在执行[16]。
    除上述传统的研究课题外，我们正利用为防止和减缓空化对水轮机破坏的相关研究中所积累的知识和经验从事促进空化的医学研究课题。例如在本实验室中开展的人类的(肾、膀胱和胆) 结石的粉碎、冶疗疑难病 (癌、心血管、皮肤和眼疾等) 的药物和基因片断的定位输送等研究。

2. 空化实验台
    华威大学的空化实验台具有一个透明的实验段以使我们可以直接观察和记录空化现象。实验段的尺寸是500mmX 30mmX120mm，目前安装了一个改型的NACA66 (2)015航空翼型作为压力分布发生器 (PDG) 。实验段的顶部和底部是可拆卸的。由改变压力分布发生器的形状和边界（底）壁面可以得到不同的压力分布并可试验不同刚度的边壁材料。采用专门设计的除气装置控制该系统内的空气含量并使用高速摄影技术捕获空泡的形态 [17] 。用於实验研究的高速成象系统有：型号为SIM16 的超高速摄影机其捕获图象的分辨速度为1X103 ~ 100X106 祯/秒，共有16祯。为了获得图象清晰的空泡形态，巳开发专门的图象处理技术。另一架型号为Cordin 550-62，带有旋转镜头的 CCD相机。 它由各自独立的装在燃气轮机（型号 550-2）上的电子成像系统构成，可获得的最高分辨率达4百万祯/秒，成像质量为1KX1K 像素。每祯的曝光时间可根据祯的速率自动调整。一次拍摄可获得62祯，因此该设备更适合于研究空泡的生命周期和空化云行为（即空化共振的研究）。这些装置使我们可以研究真实流动中的快速空泡现象，如空泡与边壁相互作用时的微射流形成等等。图2所示为捕获到的两空泡相互作用的一些特殊动力学现象。

3．应对挑战—三峡水轮机及更大的机型
三峡工程的混流式水轮机（710MW）是目前世界上最大的水轮机，而在中国长江上游的水电项目中，还将有更大功率的水轮机投产（1000MW）。2003年6月~2005年9月，左岸电厂14台机组成功投运，性能正如预期。
然而。所有这些由世界主要厂商供货的水轮机中都发现了主要位于活动导叶表面的、分布与流动方向一致的条带形式损伤。这种类型的损伤不仅以前从未报道过，更为令人担扰的事实是：所有厂家和世界各地的水轮机实验室及研究机构都未能在模型试验和CFD模拟中观察和予见这一现象。所以这不是一个孤立的事件，它虽发生在三峡这类巨型水轮机上、却是一个具有普遍意义的基本物理现象并成为对当代水轮机技术的挑战。作者的初步研究[4，5和6] 认为：这是一种边界层湍流转捩触发的新型空化 (损伤) 现象。换句话说，湍流斑充当了空化初生点从而引起空化(损伤)，这些损伤点相当於人工糙度继而进一步引发下游空化和损坏。这样就形成了一个自保持的动力学过程，结果在导叶表面沿水流流动方向就产生了这些与边界层内湍流转捩条纹带分布相一致的纤细损伤条带。本文仅简述作者发表在相关文献中，应用多学科、广视角的金相学铬扩散及晶界腐蚀和边界层湍流转捩与空化初生相关性等所作的综合分析。同时也简介一些目前在继续的工作。由於边界层内之层流向湍流转捩本身就是流体力学中的一个世纪性的难题，而空化初生虽经百年研究仍无充分认识。这两者之结合，自然是水力机械行业在开发巨型水轮机要面对的一个新的挑战课题。对这种损伤基本机理的进一步研究不仅有益於所表现出来的空化空蚀问题的解决，更有利於理解、予防和解决其他与自由流紊动度和边界层流动相似性相关的一系列关键性问题，诸如，叶片尾涡、效率、水动力学稳定性及振动和叶片断裂等等当前阻碍巨型水轮机开发的难题。因此这项研究不仅将为开发新的更大型水轮机提供可靠的理论基础，而且对流体力学基础理论的发展和其他相关科技(例如超空泡流等)的研究将有不可估量的意义。所以这是科技决策者应加倍关注的问题。目前作者正在他的实验窒中，重现这一物理现象、深入研究其发生的机理，并组建了一个国际研究团队在华威大学攻克这个难题。
三峡工程的水轮机，无论是容量（710MW），还是尺寸（转轮直径9800mm），都是世界上最大的混流式水轮机。导叶表面的损伤最初是在2005年10月14日在第11号机（按三峡电厂的习惯，后文简称为11F机组）检修导流板时（运行10245.78小时）偶然发现的。随后，类似的损伤于2005年12月27日，10F机组（运行11924.55h），同年12月11日，9F机（运行2328.41h）以及其他机组（如5F和6F机组等）上均有发现。左岸电站14台机组由两个联营体提供（Alstom + HEC, GE + Voith Siemens + DFEM） [19] 。
中国长江三峡工程开发总公司（CTGPC）还在开发安装同样规模水轮机的水电工程，总数达90台。开发和安装1000MW水轮发电机组的水电项目也在进行中。处在如此规模的水电发展战略，这些活动导叶表面的损伤，尽管对于机组的运行影响并不大，还是引起了三峡总公司管理层的高度重视，它与英国工程与物理研究委员会的华威大学创新制造技术研究中心一起为作者的这项启动研究提供了最为及时和关键的首批财政和技术支持。现在又进一步得到英国皇家工程院和中国有关方面的继续支持。
2006年3月12日~14日，在三峡工程现场召开了一次专题讨论会，与会人员有研究工程师、大学的学者以及制造商的代表。几天之后（2006年3月19日），作者应邀检查了11F机组的损伤情况，特别是具有代表性的4号活动导叶。

3.1. 损伤特征
11F机组的4号叶片的损伤是具有代表性的，如图3所示。活动导叶翼型为正曲率翼型(图4)。
损伤只发生在导叶翼型的下表面呈水平纤细的沿流向的水平条带的形式，从顺压梯度（FPG）区域开始延伸到逆压梯度（APG）区域，如图3所示。即使损伤最严重的区域其深度也远小于1mm，且被锈蚀的表面覆盖，见图5。损伤表面还观察到有烧蚀状尾巴（图5 和图6中圈出），这是另一个普遍特征。图7显示了接缝处的受热区域。这种过热的特征在其它水轮机上也有发现，比如图6所示的9F机上的图片。这种损伤条纹大致与该处的水流流动方向一致。另一特征则是所有条纹都存在楔形头部 ，典型的如8所示。这种损伤条纹在翼展方向的分布呈规律性，如图3所示，沿翼展方向的平均间距为 。
3.2. 金相学分析
损伤区域尾部的受热变色（蓝色和其它颜色）表明该区域经受过250~600 的温度（在热处理中称为’烧蓝’ ）。根据我们的知识，混流式水轮机中的所有水动力学机理中能产生如此之高和更高温度的只有空化。实验室证实，单个空泡溃灭产生的温度大约在6000~7000 。最新的关於空泡在低温液态氮中溃灭发光的光谱实验研究[21] 证实：包裹在空泡中的铬颗粒会在428纳米段产生如图10所示的三重谱结构。这些谱线来自于激发态的铬原子，因而空泡中的温度可由估算这些三重结构的铬谱线的相对强度而得，其值约为4500 K 。
也许有人会质疑：“为什么这些损伤与我们在混流式水轮机上经常观察到的，特别是与1980年代以前用低合金钢制造的混流式水轮机的损伤形式如此不同”。 其实常见的典型空蚀损伤是以深度的海绵状破坏为特征的， 如图9所示。如今，具有更好的抗空蚀特性的材料，如马氏体不锈钢（含13%Cr，4% Ni或17%Cr和7%Ni）用以替代低锰(Mn)钢来制造水轮机。11F水轮机的材料为X3CrNiMo13-4（EN-1088），它接近或相当于水轮机制造中普遍使用的马氏体不锈钢材料CA6MN（12.9%Cr，4%Ni和0.04%C）[23]。然而，该处所受到的冲击力（也即空蚀冲击）却相对较弱，这既是由于导叶流道内整体压力较高、也是由于空化的机理所致 。受热区域的存在本身可也表明这是一种在具有较高抗空蚀材料上发生的相对较弱的空蚀损伤。为何如此？我们可以这样看：空蚀破坏过程中总会表现出热效应，但是如果破坏速率很快，材料的受热部分立刻甚至同步地被空泡冲击清除，因此，事后看不到受热的区域。而材料的受热部分仍然残存，正说明空蚀破坏速率很低。该部位很低的破坏速率（1万多小时运行，空蚀深度远小于1mm）正与此假设一致。
在所有损伤区域都有锈蚀以及损伤的深度较浅（事实上只能触摸感觉）很容易使人误认为锈蚀是破坏的深层原因，正如在2006年3月12日至14日的现场会上不少代表所表达的观点[24]。作者认为这些锈蚀只是空蚀破坏引发的后继现象。以下的讨论将拨开这些笼罩在锈蚀外观上的疑云。
根据品牌，导叶所用材料为马氏体不锈钢，大致相当于CA6MN材料。众所周知，对于奥氏体不锈钢，”扩散导致晶粒间的锈蚀(Sensitisation)”,或称为”变应化”，是一个普遍存在的热效应问题。对於不锈钢来说，只有当铬的含量超过12%时，不锈钢才会具有“不锈”的特征。当奥氏体不锈钢暴露在620~676 温度下，取决于暴露的时间以及成分，碳将朝晶粒边界扩散。在此处，这些高浓度的碳会和铬生成铬碳化合物 束缚住铬，使得在晶粒边界近邻形成贫铬区（低于12%），从而降低该区域的局部抗腐蚀能力(低于总体材料的抗锈蚀能力)，从而导致晶间锈蚀。
实际上，晶间锈蚀也是马氏体不锈钢的潜在问题。近来的研究，例如[25]，观察到晶间锈蚀的最大易感性在回火温度500~550 条件范围内，并探测到了变应化结构。对于更低的回火温度，变应化较少，或根本不存在。对于更高的回火温度，变应化也较少。典型例子（UNSS41000）在图11中示出（550 ）。特征值（2小时内）随温度的变化清楚地指示：在500~600 温度范围内存在变应化作用的高易感区。

3.3. 流体动力学的考虑
损伤形态表明它并非是由主流区域内的大型空化流动结构直接打击造成的。相反地，纤细的损伤条及带楔形头部给我们一个启示：这是否与边界层中的细小流动有关联？例如流体转捩成湍流过程中所产生的湍流斑也呈现楔形状头部。
通过现场检查，作者提出一种猜想[4]：这是一种非典型的水轮机空蚀，它的初生以及随后造成的损伤与边界层条纹有关，极有可能是由边界层转捩过程中的湍流生成引起的。为了便于理解，有必要看看在什么条件下空化核子会在边界层中空化，而边界层在转捩过程中又如何提供这些条件。具体细节参见文献[9] 。
    空化初生与边界层转捩密切联系并深受其影响。许多对空化初生比尺效应的研究都分析了湍流强度和时间尺度对空化初生的影响。
    因此，对于含气核子的空化，流动结构内存在足够长时间的负压降是必不可少的。
    自由流中的湍流会在边界层内引发三种截然不同的流体运动。第一种是持续的、条带状的（ ）、大幅度的（ ）运动，它可由摄取的自由流涡度的延展和过渡模式的生长而产生，即Klebanoff模式。第二种是一种T-S频率的外层振荡，它沿流向微弱生长。第三种是通常的T-S模式，表现出较高的生长速率。
    迄今我们对Klabenoff模式的不稳定性以及它在湍流转捩中的角色的了解非常有限。边界层中类孤立波的发现和统一的转捩模型的提出[49] 可能会促进对转捩机理的认识、特别是它对空化初生的影响。
    基于以下原因需要更深入地考虑上述由自由流中的湍流所引起的边界层内K模式不稳定性对这种空化初生的影响：
    首先，出於对K模式的吸收性(receptivity)和非稳定的瞬态生长之考虑，由导流板(图12)而增强了的自由流湍流度是首要的关注点。它可能使边界层绕过OSE 模式并导致层流条纹的早期的随机的破裂、产生湍流斑点。尽管在活动导叶流道前半段为加速流 ，即具有较强的正压梯度，在自由流湍流度较低的情况下，它本应延迟层流边界层的转捩的。近期我们所作的 CFD 工作[26]显示这种导流板的存在的确增加了围绕导叶的自由流中的非稳定性(湍流度)，并降低了其平均静压力，例如, 在小流量的情况下(图13)，也就是导叶开度为 时，加装导流板使得11号机的4号导叶弦长中点的平均压力由4.50 bar (见图13(a)) 降为4.37 bar (见图13(b)); 而相应的湍流度沿全频谱惊人地增加，特别是在低频段。此外，还引入一个0.305Hz特低频高振幅分量。在大流量的情况下，也有类似的情况。研究表明, 自由流中的低频 (Gust) 脉动比高频的流噪音更容易为边界层吸收 (Receptivity) ， 其吸收率高四倍。换言之，这种由导流板引起的低频压力脉动将加剧K模式不稳定性的增长和转捩。
    其次，损伤条带的楔型头部极相似于在Blasius边界层中的条纹 (K模式）的瞬变生长和破裂引起的楔状的湍流斑。例如，Watmuff的研究[50]值得在此提到，它揭示了由流向条纹到湍流楔的演化。生长的最后阶段以及条纹的最终破灭在图14(a-c)中示出。条纹在中心线上的破裂以及两边高紊动区的形成在图14(c)中的宽谱非稳定性等值线图中可以很明显地看出来。可以表明，正是流纹这种非稳定性机制，导致沿其横向扩展的湍流楔的产生。此处， 为总的相平均的流线方向的流速； 为背景（宽带）非稳定流速； 为相位平均非稳定流速。

3.4. 模型与真机的相似性
所有这些制造商都不能从他们的模型试验中予测到这种空化。这说明了一个严峻的事实：那就是沿用至今的、赖以进行模型试验和予测真机性能的流体动力学相似淮巳经失效，尤其是对於三峡这样的特大型机型。从下述分析可以看出，其原因在於目前沿用的方法，根本不计边界层流动的动力学相似。
3.4.1． 自由流的湍流度
真机的自由流湍流度水平远高于模型机，使得真机，尤其是大型水轮机，更容易通过吸收机制导入自由流中的湍动能从而形成这种低速流纹以及早期转捩破灭。对于三峡水轮机，如果考虑自由流湍流的相似性，应保持雷诺数相等。则要求
 
由于真机与模型的比例为28，所以
 
在现实中，这是完全不可能的。由於试验台尺寸的局限性，模型只能在较小的雷诺数试验。对于三峡水轮机，真机的雷诺数约为 ，而实际模型试验的雷诺数可能只在 或者更小。这表明真机的自由流湍流度水平要高出模型许多。
对于左岸电站水轮机，由于水流在进入固定导叶流道之前的蜗壳中增加了导流板，真机活动导叶流道中的自由流的湍流度水平变得更加高尤其对特定的频段，如CFD结果所示(图13)。
3.4.2．边界层相似性
对於边界层相似，除要求上述的自由流流动条件相似外，还要求基于边界层参数的雷诺数
 
相同。又由于Strouhal数（即 ）必须相等，因而导至
 。
对于三峡来说（真机与模型的比例为28)，这种边界层的动力相似意味着
 
事实上，如前面所述，对於三峡的模型试验不可能采用如此高的水头。这种限制条件使得基于边界层参数的两者雷诺数之比远远偏离1，其比率范围约在
 
所以，从边界层动力学意义上说，当前采用的这种相似理论和试验方法，在模型和真机之间根本无边界层相似可言，从而导致真机对湍流转捩远比模型敏感。机型越大越敏感。这就是为什么此项研究对发展更大型的水轮机具有极为重要的现实意义。
以上两个因素很好地解释了”为什么模型试验没观测到空化现象并不能保证三峡水轮机不会受到空蚀伤害”。

3.5. 层流流纹和湍流斑的估算
    层流流纹在翼展方向的波长（间距）或Klebanoff波的 值可由下式来预测 
 
式中， 为迁移厚度，
 
对于观测到的典型的条带形损伤，距离在L=0.500m，雷诺数 （基于 ），以及 m，得到翼展方向波长为
 
转捩区内湍流斑是随机产生的，见图15。假设每20~30条Klebanoff条纹产生一个湍流斑点，则湍流斑的间距为*spot
*spot= 86 X10-3 ~ 129 X10-3 m
这与观测到的损伤条纹间距*spot （≈0.100m）大致相当。这有力地支持了作者关於条带状损伤是由湍流斑触发的空化斑引起的观点。
    令人惊讶的是，以上关于湍流斑的所有特征都支持湍流斑与空化初生点一致的猜想，换言之，空化从湍流触发(turbulence production)中初生，并形成了一个自保持的动力学过程如下：一旦最初的空蚀破坏点在湍流斑处产生，它将作为一个粗糙点在其紧临下游相继地引发空化和破坏，这种动力学过程沿着流动方向发展，逐渐地形成了带有楔型头部和烧蚀尾部的水平损伤条纹。这些沿翼展方向分布的流向损伤条纹就是这样成为活动导叶的主要损伤形式。正是沿着这样的思路，一项为寻找详尽机理和工程答案的彻底研究，正在华威大学进行。

4．空化共振
    水动力学非稳定性一直是水力发电工程的基本问题，尤其是低频压力脉动，如尾水管(空化)流动造成的机组出力摆动。自1940年Rheingans的工作[27]起，对此现象的研究就一直是重要课题。并巳有许多重要文献发表，特别是空化流的情况下。如用於模拟混流式水轮机尾水管中空化云引起的白由振荡的”水塞(Water Plug)”模型等。更多的关於空化引起涡轮机(水轮机和泵)振荡的信息，读者可参阅文献[28]中Henry, Tsujimoto, Sato, Turton, Martin and Tsukamoto的综述。近期法国宇航局(Centre National d’Etudes Spatiales)支持的、由Grenoble研究组完成的工作[29]是对於局部非稳定性问题的很好贡献。然而，作者在美国密西根大学的文托里实验台上与张有敬和Hammitt 共同研究空化现象时首次发现(1983[如30和31])：在某些流动条件下，压力脉动的某个特殊分量会显著地增加，具有共振的特征并呈现为系统的非稳定现象。由于这种共振现象对於水力系统的安全性和稳定性的重要意义，作者巳在三个不同流动装置上进行了系统的研究，包括最近作者的研究组在华威大学完成的研究[如12，2和32等]，都证实了作者提出的共振假设。那就是：取决於系统的特性，一旦空化出现，拌随於空化的一个特殊的低频 压力脉动分量，会通过空化云（空泡的集合）与流动系统中液相的某种耦合机制而明显地放大，进而引发共振。在三个不同装置上的实验证实：该空化共振频率实际上是无空化条件下系统(装置)水相的自然频率之一，而该频率是不随空化的出现和变化而改变的。因此它有别於其他的那些频率随空化而改变的压力脉动分量。换言之，空化共振频率是系统无空化时的频率之一。对於该三个不同的系统，这空化共振频率均可用作者基於上述空化共振物理概念提出的敉值方法精确的予测[31]。在这些实验和数值研究基础上，作者认为：空化云(空泡集合)是一个子系统而液相是另一子系统，并以此为基础建立了关於空化共振的宏观机理 ，祥见[12]。现简要地介绍该现象和目前我们的研究工作。
    该现象是由作者命名为”空化共振”的。为说明此现象，特将在密西根大学的文托里实验台(图16)上取得的一些成果 [11] 引用于此。只要出现空化，即使还目测不到，就可以观察到一个特定的低频压力脉动分量（f0=50~60Hz）如图17(a) 所示。频谱分析显示，当 0.84、0.74和0.69时，该特定的脉动分量总是呈现而频率总为f0=50~60Hz，但其幅值随 值的不同而变，在 =0.89时达到峰值。参见图17(b) 。
    频率扫描 揭示：复频 的第一阶谐波值等于 -1.03+i385.16，即流动系统（液相）的一阶谐振频率 。它与观察得到的f0=50~60Hz吻合得很好。图17(c)所示的模式识别揭示：对於第一阶谐波，即s=-1.03+i385.16，在文托里管的喉部和扩散段水力阻抗 达到非常高的值，此处恰是空化云发生的地方。而空化的不稳定性实际上是一种流量扰动，从而很容易激发这一特定分量的压力脉动 (因为对该特定频率f0而言，水力阻抗特别高)。
    作者提出的宏观机理认为：空化云除了表现为被动的容抗外，也可表现为具有主动功能和特征频率的压力扰动器，并通过双振荡子 机理，在流动系统中激发出巨大的低频压力脉动 [10]。那就是说，空泡云在流动系统中的物理角色也可以是一个激发器，它具有自身频率fcav，而非总是简单表现为集中容抗（C）。因此，在某种条件下，空化云的某一频率可能与流动系统中液相的一个频率fliq接近或重叠，导致共振。由于文托里管的扩散段和水轮机尾水管的扩散段等都具有很高的阻抗，使得哪里的空化云或空化的涡带极易于发生自激振荡。这种空化共振现象具有以下特征：
    该共振现象是系统的不稳定性，而非局部的不稳定性。这是因为脉动分量出现在、或穿越整个系统。
    尽管在一些情况下，空化云（空泡集合）可以简化为集中容抗。然而，在共振模式时，空化云是与整个流动系统的液相交互作用的振荡器，而非流动系统中的一个简单的集中参敉元件（容抗或电容器） 。
    就空化共振而言，空化云是作为一个子系统，而液相是作为另一个子系统与之藕合的。其最显著的特征之一是：流动系统无空化条件下的频率之一就是空化共振时的频率，而此频率值是不随空化出现与否和空化程度的大小而变的。事实上，如图17(b)所示，它在一定的空化数范围内都表现为这种不变的共振频率。这是其有别於其它脉动分量的特征。
    这样看来，作为振荡器的空化云似乎具有一定范围的、自适应於液相系统的频率，从而在某种条件下造成两者频率重叠和共振。这个物理特性对我们来说，仍然是个谜，也正是为什么我们要从单个空泡水平上作深入的机理研究。我们的初步的结果是很令人振奋的, 特此简略提及。有兴趣者，可查相关文献。
    我们正在开展的DNS研究是模拟柱状空泡云对柱端阶跃式压力扰动的动力响应。在固体力学中，我们知道在不同的子系统和振荡模式之间，由于非线性效应的作用，会有能量交换 。尽管我们巳知单空泡在两个不同振荡模式(即形状振荡和体积振荡)之间由于非线性效应也会有能量交换,祥见Feng 和Leal的综述文章[33]。但对於多空泡的空化云,所知甚少。我们的DNS初步结果显示，空化云在两个不同振荡模式 之间也有这种非线性造成的能量交换，祥见[32]。相关的实验也在华威大学的文氏管装置上利用高速摄影系统开展，已揭示出空化共振的一些新的特性(祥见[2])：那就是空化共振时，空化云内的空泡呈集体性的体积振荡。这一观察结果是与我们的上述DNS结论一致的。

5．马尔科夫(Markov)随机模型
    边壁的容抗对于边界层流动的稳定性、转捩和减阻效应早已有大量的研究成果。同时，边壁容抗对于减弱静态的单个空泡(SSB)的空化效应的可能性也已开展了试验 [34]和数值研究 [35]。在真实的流动环境，我们需要了解上述两方面是否在减弱空化上共同起作用。为此作者提出了一个模拟空泡行为的随机模型 [13]。为验证此模型，目前正在文氏管试验装置上，就各种流动和边界条件，观察边壁容抗对于激光触发的单个空泡和真实流中的多空泡群的统计特性的影响 [14]。为了捕获如此高速运动且微小的空泡，应用了超高速的摄影系统以记录观察空泡的行为。
    对静态单个空泡的研究表明，将单个空泡人为导入一个静态敞开的流体，它的溃灭是较不剧烈的，同时空泡朝向边壁的迁移会减小甚或被边壁排斥。这取决于三个参数：初始的相对距离（），壁面惯性（m*）和刚性（k*），
 =S/Rmax， m*=m/R3max  和  k*= k/(p∞-pc) Rmax
式中，S 是空泡中心到壁面的初始距离，Rmax是空泡的最大半径，m*是壁面的惯性，k*是壁面的刚性。p∞是参考压力，pc是饱和汽化压力。如作者指出[36]：‘空泡群在真实流动条件下的行为是具有很强随机性的多空泡行为’。而其随机性‘源于流体中的空化核子的随机性和空化核子空化的机理；而这些随机性在空泡的整个生命期中又进一步被三种相互作用强化并赋予统计特征。其一是空泡与壁面的相互作用，其二是空泡之间的相互作用，其三是空泡群与非稳定的或脉动流场之间的相互作用’。因此，空泡的整个生命期，即初生、发育、溃灭和回弹，完全是一个随机过程。
    用物理量)表征空泡群随机运动（或随机行为），建议为如下形式：
= (R，Y，J)
式中： Ω是一组三个随机变量在三维离散态空间的集合。它们分别是表征空泡尺寸的R()，（如等效体积的半径Rvol），表征空泡到壁面的距离Y()，（或其相对值Y/Rmax），表征空泡微射流量级的J()，（至少可以赋予J()三个数-1，0 和 1; 分别表示被边壁排斥、无和存在微射流）。基于静态单个空泡的研究，这些统计特性参数在容性边壁影响下，有望会有益性地偏离完全刚性的边壁概率密度分布。图18是一幅表示Y()偏离倾向的示意图。
    基于对该流动系统物理特性的认识，作者建议用马尔科夫(Markov) 随机过程来模拟空泡的这一随机行为。这一模型正在新近投运的空化实验台上作实验验证。该动力学系统，包括空泡、流动的流体和边界壁面，如图18所示，具有很大的动量。并且，在其生命过程中，一个空泡沿着它的路径经历一个统计性地变化的流动条件。考虑到该系统具有很大的动量，采样空间选择为Ω（Y，R，J）得：
    ,   
然而，考虑到难以精确地度量随机变量R()和J()的值，以及需要显式地展示空泡的轨迹。选用一维的采样空间可能更为适用。并且，可能的话，上述数列 1，  2，  3…n可以配对地构成为Markov链，也即具有两步转换概率的成对的（ n， n+1）数列。
 
并假定随机变量 （=Y()）在整数（i,j,k,..）上移动，并且使用标注为
 .
予期对于所有的 i, j，p1(j I i)≠p2(j I i)≠…≠pn(j I i)。即不存在静态的转换概率。他们的转换概率矩阵，Pn，n=1,2,3…，需要单独估算其值。我们将安排流动实验来验证该特性。
    对于一个给定的试验条件（指流动条件和激光束条件），一个由激光生成的空泡的全生命试验将重复作m遍。对于生长的初始空泡状态的数列，为：
01（ Y ,R,J），02（ Y ,R,J），… 0m（ Y ,R,J），
它仍然是一个随机过程。该过程的随机性主要由激光能量堆积与水流的相互作用决定，可以预期它是一个每个变量 0m（m=1,2,3...）都具有一致的概率分布的Markov过程。进而，整个数列的概率分布趋向于一个稳定的分布，即：
 .
对于在自由流中生成的空泡群， 可以合理地预期是一个高斯分布。而对于在边界层中生成的空泡群， 可能会偏离高斯分布。然而，如果：
Tlaser ﹤﹤   Tflow
式中，Tlaser：激光束的特征时间尺度，即激光束的脉冲长度；
Tflow：所论流动结构的特征时间尺度,
则初始状态的集合A0 将限于一个微小的空间域内，使得其分布对于空泡寿命的Markov链的影响能被接受。这在实验中通常是对的，允许一些近似，例如， 0=E( 0m   A0），将被简化地作为初始状态使用。一旦 和p1(j | i)，p2(j | i)，…pn(j | i)，确定（或赋值），空泡寿命的Markov模型就确定了。这样，由 Chapman-Kolmogorov方程，在任何瞬间，n，的无条件分布 就确定了，
 .
式中，P1，P2，…，Pn是概率转换矩阵P[pn (j I i)]。
    事实上，一个空泡触碰（撞击）边壁的现象可以归类为吸收状态。也就是，如果该状态（吸收的事件）定义为B，则
P(B I B)=1
出于这个理由，在边界处的壁面，总的讲，都是吸收的壁面。如果是刚性的壁面，那更是如此。
该吸收概率，P(n)(B |  0=i)，是空泡相对於边壁迁移的一个测度，而它的倒数则是该流动系统关于减弱空化的概率特征的测度。
 
式中，n：一个预先选定的时间步长的大数；
      i：对于给定试验的初试条件。
如果，CAV(n)mitigation(i) =1，所有初始状态i的空泡都会(在时间n前)，最终撞击边壁;另一极端情况是 ，意味着没有空泡会撞击边壁。
    如果邻近有一个壁面，Markov 模型可能是一个带有吸收性边壁的非对称随机步行链。而边壁材料的容抗性予期会增加CAV(n)mitigation(i)的值。
    而一个对称随机步行模型则可能是对自由剪切流动中空泡群的一个很好的近似，此处所有的空泡状态都可被视为瞬态的或非循环的(transient or null-recurrent)，即
  .
    目前，我们用由红宝石激光导入的单个空泡，对该马尔尔科夫模型作实验验证和赋值。

6. 空化和泥沙磨蚀的联合作用
空化和泥沙磨损经常会同时存在并导致严重的破坏。虽然人们对空化侵蚀现象的研究已经超过了一个世纪，大量的著作和文章都对其机理和所造成的破坏影响等进行了研究; 目前已经达到共识的是：破坏能量来自于空泡的溃灭，并且大部分情形下对于普遍应用材料的破坏都属于一种疲劳破坏的过程。然而，研究者们对于空化和泥沙磨损的共同作用，特别是泥沙磨损过程中空化所产生的加剧作用并不是很了解。也就是说，对这种具有很大破坏能力的、在水轮机中很常见的破坏形式，人们所作的研究努力却最少。
关於空化加剧侵蚀的现象，可用一个典型的冲击式水轮机实例[37]加以说明。该水轮机工作水头900m，水流中带有细颗粒（直径<0.060mm），在运行了300小时后在喷针头部产生了较轻微的泥沙磨损现象，如图19(a)所示。这是由于在喷针头部强烈的边界层湍流引起的。然而，这种对非常精细流线型光滑表面的初始损伤，导致了空化现象的发生，并和泥沙的磨损共同发生作用，显著加快了表面损伤的速度。所以在又运行了相同的时间间隔后，造成严重破坏而不得不更换喷嘴，如图19(b)所示。这个例子很好地说明了空化对磨损的加剧作用。但是有些实例中却表现出相反的趋势，空化的存在并不总是表现为加剧效应。详见文献[38] 。从根本上讲，空化现象能否加剧泥沙磨损，取决于空化云和其携带的颗粒之间的相互作用。目前对此知之甚少。为获突破性进展，必须理解其本质机理。也就是说，应当了解颗粒是怎样从流体(包括空泡)中获得破坏边壁材料所需的动能的。换句话说，就是流体(包括空泡)对泥沙颗粒的驱动方式和驱动力的估算。如果没有这方面的认识，我们就无从回答”为什么某些类型或者空化云的某些部分不会加剧泥沙磨损，甚至会迟滞磨损过程”。为回应这样的挑战性问题，我们巳对于这种驱动力作了初步研究并取得了阶段性成果。下面简介我们提出的微观尺度模型[38] 和初步的数值计算结果。
参见图20，我们假设贴近刚性壁面的流动为平行流场，同时在空泡产生的微射流中悬浮着一个形状不规则的颗粒。如果不存在空化，颗粒仅获得速度 ，近似等于速度V，并且大致和壁面平行运动（特别是在主流中的颗粒）。如与速度 为垂直地冲向壁面的颗粒相比，这种平行于壁面流动的颗粒只会在壁面上留下轻微的划痕。而空化产生的微射流是一种朝向壁面 的具有极高速度的加速流动。该加速速率使得颗粒能够在几微秒时间内获得每秒数百米的速度（当然，这取决于空泡尺寸，压力梯度，颗粒尺寸，滑移速度和加速时间）。即：
 以及 
式中    V：流动的特征速度；L：流动的特征长度。
当被射流加速时，颗粒将受到很强的拖曳力 和拖曳力矩 的作用。特别是拖曳力矩的作用方向总是能够使颗粒最尖边缘旋转向前。在这样一个动力学系统中，颗粒不但从拖曳力中获得巨大的切割能量，而且拖曳力矩使其切割刃缘指向壁面。这样形成了最高效率的切削作用。再者，惯性力的法向分量会使颗粒向射流中心线移动并保持在中线附近，直至撞击到目标区域的中心。这个空化加剧磨损的微观模型揭示的重要机理可归纳为以下几点：
•    捕捉到颗粒并且促使其向射流中心运动；
•    使颗粒加速到一个极高的速度；
•    并且促使其最锋利的边缘（即切削刃缘）指向壁面材料。
这样，在空泡射流打击到材料表面并引起凹坑的同时，颗粒相继切入（或者是划痕，取决于冲击的角度）本已受损区域（即空蚀坑）的中心从而形成强化效应的磨蚀联合作用。也就是常言道：雪上加霜的破坏作用。这种损伤模型已获得图21所示的实验结果[40]的有力支持。图中可以明显看出划痕和楔入凹坑底部中心的颗粒。为了进一步发展我们的微观尺度模型，数值分析已在进行中，它将定量地研究下面的参数是如何加剧联合磨损的。
    空化/空泡参数：可以根据空泡和边界的相互作用，将边界层划分为三个基本类型[38]。其中涉及的边界（或涂层）材料的相对惯量（ ）和刚度（ ），定义为
 
 
式中
    m：相当于最大空泡直径的边界表面（或涂层）的质量
     ：水的密度；
 ：最大空泡的半径；
k：边界表面（涂层）弹性常数；
 ：无限水域处的压力；
 ：水的饱和汽化压力；
这三种边界分别为：（1）对于一个刚性边界（即 以及 ），边界与空泡的相互作用会延长空泡寿命。生成的微射流速度、对边界的冲击压力、破坏潜能，通常是随着相对距离 （ ，这里S是空泡到边界的距离）而增大。然而对於被其驱动(加速) 的颗粒而言， 的减小使颗粒的被加速时间变短，从而又有减弱其破坏边壁材料的效应; 因此，对於空泡增强沙粒磨损的效应还得作深入数值分析、不得一概而论。（2）对于一个自由表面（它是和刚性边界相反的另一极端，即 以及 ，相当於一个定常压力的具有完全容性的边界），如果不考虑浮力，在很大 值处的空泡会在溃灭的过程中远离表面而迁移，并在迁移方向上形成射流；同时，在自由表面上也会形成一个与空泡迁移方向相反的射流 (spike) 。（3）对于介于前述两种极端情况之间的边界（例如，由复合的或者柔性的材料制成的具有非零的有限 以及 值 的柔性边界），在流体和边界之间存在能量交换过程。边界可以从流体运动中吸取能量，其中的一部分耗散在边界里，剩余部分回送到流体运动中。通过这样一个能量交换的过程，空泡生长和溃灭的特性被改变了。这种能量交换的方式取决于相对位置 和边界参数 以及 。柔性边界的有利效应在於它会减弱空泡的壁向迁移运动和向壁的微射流。对于特定的 ， 以及 三个值的组合，空泡可能还会被壁面排斥开，这样射流就会消失甚至改变方向背向边壁，以致不会对壁面造成损伤。这些创新慨念可以防止或减缓空蚀对沙粒磨损的增强效应。从图22可以看出，空泡溃灭可以发生在排斥区域(RZ)或者吸引区域(AZ)，这两个区域由中性溃灭线（点划线）分开，在这条线上空泡溃灭时不会发生迁移的现象。这条中性溃灭线通过 的点，其中 为空泡在溃灭的最后阶段到边界的距离。
    从上面的分析可以清晰看出，参数 ， 和 强烈影响着射流的形成、方向和强度，它们相继又决定了上述模型中描述的泥沙颗粒破坏能量的可能加剧效应。
泥沙特征参数：正如上面所描述的，水中的固体颗粒有不同的尺寸和特性。在工程实际中，它们并不是均匀悬浮在流道中。采用上述模型可以进行颗粒相对尺寸（相比于微射流的特征尺寸）和相对密度（相比于悬浮流体，如水的密度）等参数对增强颗粒切削能量的定量研究。该项研究可以使我们找到在不同流动结构（包括空化的类型）中，产生加剧作用的颗粒尺寸的阈值。
数值研究：为验证上述模型的数值研究正在华威大学的空化实验室开展。己取得的初步结果[39]支持上述的磨损增强效应，现简述於此。
    在这些计算中，时间步长为  秒; 对颗粒运动的模拟一直进行到予定的行进距离1mm。如图23所示，如将一个尺寸为0.2mm × 0.04mm × 0.04mm的颗粒以 的倾角置於速度为300m/s的微射流中，计算结果表明：在微射流的驱动下，在非常短的运行距离(远小於1毫米)内颗粒可以取得每秒数百米的巨大速度。
    微射流速度对颗粒撞击速度和动能之影响示於图24中。如予计的，微射流速度和颗粒撞击速度呈线性关系。因而，微射流速度和撞击动能呈二次关系。如期望的，由於驱动力和旋转力距都取决於颗粒形状，因此形状的改变会对计算结果如撞击速度和动能等影响很大。而在绝大多数的算例中，尖锐的切削边都转向前沿、形成最有效的切割 。
    上述研究所获得的知识使我们对各种情况下的磨损增强效应有了更清淅的理解。这将为提高予测磨损的能力和研发新型抗磨材料及涂层技术提供重要的理论基础。

7．结语
    华威大学的空化研究团队所开展的上述研究项目都是紧密结合现代水轮机和水力发电工业面临的基本问题的。除此之外，空化在医学和生物工程上的应用、例如结石粉碎等，也是我们空化研究的另一个关注点，并得到英国工程和物理研究委员会的大型项目资助。

鸣谢
作者表达对下列各方的衷心感谢:
•    中国教育部首批(1978年)公派出国留学奖学金，资助作者在美国密西根大学的空化与多相流研究室从事空化机理研究(特别是空化共振现象的发现);
•    英国工程与物理研究委员会(EPSRC) 的华威大学创新制造技术研究中心(WIMRC)对水轮机技术和空化研究的长期资助（R.ESCM.9001）和皇家工程院的RECI资助(R.ESCM3021)表示衷心的感谢;
•    感谢三峡总公司(CTGPC) 在笔者2006年3月19日至20日技术访问三峡电厂时给予的接待和协助以及后续研究的支持;
•    英国工程与物理研究委员会(EPSRC) 仪器站的支持; 
同时感谢三峡总公司(CTGPC)的戴江教授级高工和北京大学李存标教援的有益讨论。

参考文献
1. Li S. C. and Carpenter P. W. 1999 ‘A Device for Studying the Stochastic Behaviour 
of Bubbles Interacting with Compliant Wall’, Proc. 8th Asian Congress of Fluid Mechanics,
 Shenzhen, China, pp263-266.
2. Zuo Z. G, Liu S. H., Li S., Chen H. and Li S. C. 2008 ‘Volumetric Oscillations of 
Cloud at Cavitation Resonance’, J. of Hydrodynamics (in press).
3. Li S, Zuo Z G, Li S C*, 2006, ‘Stochastic Study of Cavitation Bubbles near Boundary
 Wall’, J. of Hydrodynamics, 18(3), pp.487-491, (Jul 2006).
4. Li S C, 2006 ‘Cavitation Damage: Three Gorge Turbines (Phenomenon, Implication & 
Unknowns…)’, presentations at the Three gorge Power station (19 March 2006), the Beijing 
University (28 March 2006) and the National Research Institute of Hydro Power (29 March 
2006).
5. Li S C, 2006, ‘Guide Vane Surface Damage to Three Gorge Turbines’, Proceedings of 
WIMRC FORUM06, 3rd July 2006, Warwick University, Coventry, UK  
6. Li S C, 2006 ‘Challenge to Modern Turbine Technologies: Analysis of Damage to Guide 
Vane Surface of Three Gorge Turbines’, Proceedings of the 1st Int. Conf. on Hydropower 
Technology & Key Equipment, 27-29 Oct 2006, Beijing. 
7. Li S C, Liu S H and Wu Y L, 2007 ‘A New type of cavitation damage triggered by
 boundary-layer turbulent production’, Morden Physics Letters B, Vol. 21, No. 20 (2007)
 1285-1296

8. Li S C, Liu S H and Wu Y L, 2007 ‘Challenges to turbine development’, International 
Water Power & Dam Construction, 59(8), pp.30-37, (Aug 2007).
9. Li S C, 2008 ‘A New Type of Cavitation (Damage) Identified from Three Gorges Turbines’
, IAHR 24th Symposium on Hydraulic Machinery and Systems, 27-31 Oct 2008, Foz do Iguassu, Brazil.
10. Li S. C., Zhang Y. J., Hammitt F. G. (1983) ‘Investigation of Low-frequency Presure Fluctuation Associated with Cavitating Venturi Flow’, Report No. UMICH 
014571-64-I, University of Michigan, Ann Arbor, USA.
11. Li S. C. et al, 1989, ‘Cavitation Resonance in a Venturi Loop’, Proc. 3rd Joint 
ASCE/ASME Mechanics Conference, San Diego, USA, pp71-74.
12. Li S C*, Zuo Z G , Liu S H , Wu Y L and Li S, 2008 ‘Cavitation Resonance’, ASME
 Fluid Engineering, 130(3) (March 2008) (http://link.aip.org/link/?JFG/130/031302, DOI: 10.1115/1.2842149).
13. Li, S.C. and Carpenter, P. W. 2000. ‘Note on an Envisaged Markov Model for Cavitation
 Bubble(s) Near Compliant Walls’, ASME Fluids Engineering Conference, Boston, Massachussetts,
 USA.
14. S LI, Z G ZUO and S C LI*, 2006 ‘Stochastic study of cavitation bubbles near boundary 
wall’, Journal of Hydrodynamics, 18(3), pp.487-491, (Jul 2006).
15. Y Iwai, S C Li, 2003 ‘Cavitation erosion in waters having different surface tensions’
, Wear, 254(1-2), pp.1-9, (Jan 2003). 
16. Part of doctorial research programme for Shuai Li (since 2005) at the Cavitation 
Research Group, University of Warwick, UK.
17. Zuo Z G et al, 2005, ‘Visualization Method for Acquiring Statistical Characteristics 
of Cavitation Bubbles’, The 8th International Symposium on Fluid Control, Measurement and 
Visualization, Chengdu, China 2005.
18. Li S, 2008, Current PhD research programme, Cavitation Group, Warwick University.
19. Three Gorge Power Station, 2006, ‘Damage of Guide Vane Surface (Left Powerhouse)’, 
Document for the in situ Investigation Meeting, 12-14 March 2006, Yi Chang, China.
20. Dai Jiang, 2008 ‘Feasibility Study of 1000MW Hydro-turbine Generating Unit is on the Way in China’, Workshop on 1000MW Turbine & Fluid 
Dynamics, Royal Academy of Engineers (UK) Project (Exchange with China and India), Warwick 
University, 10-11 July 2008.
21. Baghdassarian, O., Tabbert, B. and Williams, G. A., 2007, ‘Luminescence from laser-
created bubbles in cryogenic liquids’, Physical Review, E 75, 066305 (2007).
22. Li S C, 2000 §6.2 ‘Cavitation Damage in Turbines’, in Cavitation of Hydraulic 
Machinery, ICP, London.
23. Li S C, 2000 §6.5 ‘High Resistance Materials’ in Cavitation of Hydraulic Machinery,
 ICP, London.
Coventry, UK.
24. Three Gorge Power Station, 2006, ‘Damage of Guide Vane Surface (Left Powerhouse)’, 
Document for the in situ Investigation Meeting, 12-14 March 2006, Yi Chang, China.
25. Alonso-Falleiros N, Magri M and Falleiros I G S, 1999, ‘Intergranular Corrosion in a Martensitic
 Stainless Steel Detected by Electrochemical Tests’, Corrosion, Vol55, No8.
26. Chen Ting, 2008, Part of PhD research programme, Cavitation research Group, Warwick 
University.
27. Rheingans, W. J., 1940, ‘Power Swings in Hydroelectric Power Plants’, Trans. ASME,
 62, pp171-184.
28. Li, S. C. (editor), 2001, in Cavitation of Hydraulic Machinery, ICP London, Chap. 7 
and Chap. 8.
29. Reboud, J. L. et al., 2003 “Numerical Simulation of Unsteady Cavitation Flows: Some 
Applications and Open Problems”, 5th Int. Symp. on Cavitation, Osaka, Japan.
30. Li S. C., Zhang Y. J., Hammitt F. G. (1983) ‘Investigation of Low-frequency Presure Fluctuation Associated with Cavitating Venturi Flow’, Report No. 
UMICH 014571-64-I, University of Michigan, Ann Arbor, USA.
31. Li S. C. et al, 1989, ‘Cavitation Resonance in a Venturi Loop’, Proc. 3rd Joint 
ASCE/ASME Mechanics Conference, San Diego, USA, pp71-74.
32 H. Chen and S. C. Li*, Z. G. Zuo and S. Li, 2009 ‘Direct Numerical Simulation of 
Bubble-cluster’s Dynamic Characteristics’, Journal of Hydrodynamics (in press).
33. Feng, Z. C. and Leal, L. G., 1997, “Nonlinear Bubble Dynamics”, Annul Rev. Fluid
 Mech. 29, pp201-243.
34. Shima A et al.1989 J. Fluid Mech. 203, pp199-214.
35. Zhang S and Duncan J H 1993 FED 153, ASME, pp137-142.
36. Li S C 2000, §3.7 ‘Origins of bubble statistics’, in Cavitation of Hydraulic 
Machinery. ICP London
37. Brekke H, §4.1 Hydraulic Design of Turbines, in Abrasive Erosion and Corrosion of
 Hydraulic Machinery, Duan C G and Karelin V Y (editors), ICP, London, 2003.
38. Li, S.C. 2006, ‘Cavitation enhancement of silt erosion: An envisaged micro model’, 
Wear, 260, pp1145-1150.
39. P Dunstan, 2007, ‘Synergism of Cavitation and Silt Erosion: Damage in the Comminution
 of Kidney Stones’, MSc Thesis, September 19, 2007,  Cavitation Research Group, Warwick 
University. 
40. Jin, H., Zhang, F., Li, S. and Hang, C., ''''The role of Sand Particles on the Rapid 
Destruction of the Cavitation Zone of Hydraulic Turbines'''', Wear 112 (1986), pp199-205.
49. Lee C B and Wu J Z, 2008, ‘Transition in Wall-bounded Flows’, ASME Applied Mechanism reviews, vol. 61, May 2008.
50. Watmuff J H, 2004,  ‘Evolution of a Turbulent Wedge from a Streamwise Streak’, 15th
 Australasian Fluid Mechanics Conference, The University of Sydney, Sydney, Australia, 13-
17 December 2004.
51. Alfredsson  P H and Matsubara M, 2000, ‘Free-stream Turbulence, Streaky Structures and Transition in Boundary Layer Flows’, Fluids
 2000 Conference and Exhibit, Denver, CO, USA, 19-22 June 2000.